Woche 5: Erwartungswert & Varianz
1 Wichtige Kennzahlen
Anstatt immer die gesamte Verteilung anzuschauen, fassen wir sie oft mit Parametern zusammen, die das “Zentrum” und die “Breite” der Verteilung beschreiben.
1.1 Erwartungswert (\(E(X)\) oder \(\mu\))
Der Erwartungswert ist der “Schwerpunkt” der Verteilung. Er sagt uns: “Welchen Wert erwarten wir im Durchschnitt, wenn wir das Experiment unendlich oft wiederholen?” Die Berechnung unterscheidet sich je nach Typ der Zufallsvariablen:
- Für diskrete Zufallsvariablen: Wir multiplizieren jeden möglichen Wert \(x_i\) mit seiner Wahrscheinlichkeit und summieren das Ganze auf. \[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\]
- Für stetige Zufallsvariablen: Da wir kontinuierliche Werte haben, wird die Summe zu einem Integral. Wir integrieren über das Produkt aus dem Wert \(x\) und der Dichtefunktion \(\varphi(x)\). \[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \varphi(x) \, dx\]
1.2 Varianz
Die Varianz ist ein Mass für die Streuung. Sie gibt an, wie stark die tatsächlichen Werte im Durchschnitt vom Erwartungswert abweichen (genauer: die durchschnittliche quadrierte Abweichung).
- Allgemeine Definition: \(Var(X) = E[(X - E[X])^2]\)
In Worten: Der Erwartungswert beschreibt die quadrierte durchschnittliche Abweichung \((X - E[X])^2\) vom Erwartungswert einer Zufallsvariable X, also den Erwartungswert (durchschnitt) der quadrierten Abweichung vom Erwartungswert.
Beispiel Würfelwurf (Erwartungswert \(E[X] = 3.5\)):- Für die Augenzahl 1: \((1 - 3.5)^2 = 6.25\)
- Für die Augenzahl 2: \((2 - 3.5)^2 = 2.25\)
- Für die Augenzahl 3: \((3 - 3.5)^2 = 0.25\)
- Für die Augenzahl 4: \((4 - 3.5)^2 = 0.25\)
- Für die Augenzahl 5: \((5 - 3.5)^2 = 2.25\)
- Für die Augenzahl 6: \((6 - 3.5)^2 = 6.25\)
Die Varianz im Würfelwurf wäre dann der gewichtete Durchschnitt dieser quadrierten Abweichungen \[Var(X) = 1/6\cdot(6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) = 17.5/6 = 2.91\]
- Für die Augenzahl 1: \((1 - 3.5)^2 = 6.25\)
- Verschiebungssatz (oft leichter zu rechnen): \(Var(X) = E[X^2] - E[X]^2\).
Beispiel Würfelwurf:- Beim ersten Term werden die Augenzahlen quadriert:
\(E[X^2] = 1/6\cdot(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = 1/6\cdot91 = 15.16\).
- Beim zweiten Term wird der einfache Erwartungswert des Würfelwurfes quadriert:
\(E[X]^2 = 3.5^2 = 12.25\).
- Beim ersten Term werden die Augenzahlen quadriert:
1.2.1 Zusätzliche Rechenregeln für die Varianz:
- \(Var(\lambda \cdot X) = \lambda^2 \cdot Var(X)\) wenn \(\lambda\) eine Konstante ist
- \(Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)\) wenn X und Y unabhängig sind
1.3 Standardabweichung
Die Standardabweichung ist dann einfach die Quadratwurzel aus der Varianz: \[\sigma = \sqrt{Var(X)}\] Warum Standardabweichung? Die Varianz hat quadrierte Einheiten (z.B. \(m^2\)). Durch das Ziehen der Wurzel hat die Standardabweichung wieder dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten (z.B. \(m\)), was sie für uns viel anschaulicher macht.