Woche 4: Zufallsvariablen & Verteilungen
1 Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable (oft mit grossen Buchstaben wie \(X\), \(Y\) bezeichnet) ist im Prinzip eine Übersetzungsmaschine: Sie ordnet den abstrakten Ergebnissen eines Zufallsexperiments (der Grundmenge \(\Omega\)) reelle Zahlen zu.
Wir unterscheiden zwei Haupttypen:
- Diskrete Zufallsvariablen: Können nur bestimmte, zählbare Werte annehmen (oft ganze Zahlen).
- Beispiel: Anzahl der geworfenen “Köpfe” bei 10 Münzwürfen (\(X \in \{0, 1, 2, \dots, 10\}\)).
- Stetige (kontinuierliche) Zufallsvariablen: Können jeden beliebigen Wert in einem bestimmten Intervall annehmen (Messwerte).
- Beispiel: Die exakte Wartezeit auf den Bus in Minuten (\(X = 4.352\dots\)).
2 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
Um zu beschreiben, wie wahrscheinlich die verschiedenen Werte einer Zufallsvariablen sind, nutzen wir Funktionen.
2.1 Bei diskreten Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Gibt die exakte Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable \(X\) einen ganz bestimmten Wert \(x\) annimmt. \[P(X = x)\]
Verteilungsfunktion (kumulativ): Kumuliert (summiert) die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten Wert \(x\). \[F(x) = P(X \le x)\]
Die Kurve “beginnt” somit bei \(y=0\) und “endet” bei \(y=1\) und ist monoton wachsend (geht nie wieder abwärts in Richtung von höheren X).
2.2 Bei stetigen Zufallsvariablen
- Dichtefunktion \(\varphi(x)\): Da ein stetiger Wert unendlich viele Nachkommastellen hat, ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert immer null (\(P(X = x) = 0\)). Die Dichtefunktion beschreibt stattdessen die “Kurve”. Die Gesamtfläche unter der Kurve ist immer exakt 1.
- Verteilungsfunktion \(F_X(x)\): Die Kurve ist ebenfalls monoton wachsend und gibt die Fläche unter der Dichtefunktion bis zum Wert \(x\) an. Berechnet wird dies über das Integral der Dichtefunktion. \[F(x) = \int_{-\infty}^{x} \varphi(t) \, dt\]
2.3 Visuelle Zusammenfassung
3 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Zwei Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) sind unabhängig, wenn das Eintreten der einen Zufallsvariablen absolut keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der anderen hat.
Formal gilt für unabhängige Zufallsvariablen:
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, ist das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten: \[P(X \le x \text{ und } Y \le y) = P(X \le x) \cdot P(Y \le y)\]
oder ausgedrückt in der Verteilungsfunktion
\[F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)\]