Woche 1: Einführung & Kombinatorik
1 Einführung in die Statistik
In dieser ersten Woche klären wir die fundamentale Frage: Was unterscheidet Statistik von der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
1.1 Statistik vs. Wahrscheinlichkeitsrechnung
Der Unterschied lässt sich am besten anhand eines Urnenmodells verdeutlichen:
- Wahrscheinlichkeitsrechnung: Wir kennen das Modell (wir wissen, was in der Urne ist) und berechnen die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Daten (was wir ziehen werden).
- Frage: “Was werden wir mit welcher Wahrscheinlichkeit in den Händen halten?”
- Statistik: Wir haben Daten (die gezogenen Kugeln) und ziehen Rückschlüsse auf das zugrunde liegende Modell oder dessen Parameter.
- Frage: “Was können wir basierend auf den Daten über den Inhalt der Urne aussagen?”
2 Grundprinzipien der Kombinatorik
Die Kombinatorik hilft uns, die Gesamtzahl möglicher Ausgänge \(N\) zu bestimmen. Dies ist die Voraussetzung, um später Wahrscheinlichkeiten nach Laplace berechnen zu können.
2.1 Die Produktregel
Wenn ein Gesamtvorgang aus \(k\) nacheinander folgenden, unabhängigen Entscheidungen besteht, wobei es für die \(i\)-te Entscheidung \(n_i\) Möglichkeiten gibt, berechnet sich die Gesamtzahl durch:
\[N = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k\]
2.2 Variationen
Eine Auswahl von Objekten, bei der die Reihenfolge wichtig ist. Hierbei gibt es zwei Fälle:
Ohne Zurücklegen:
Ein Zahlenschloss, bei dem jede Zahl nur einmal gewählt werden kann. Für ein 3-stelliges Schloss \((N = 10*9*8)\)
Mit Zurücklegen:
Ein Zahlenschloss, bei dem jede Zahl mehrfach gewählt werden kann. Für ein 3-stelliges Schloss \((N = 10*10*10)\)
2.3 Permutationen (Anordnungen)
Wie viele Möglichkeiten gibt es, \(n\) unterscheidbare Objekte in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen? Beispiel: Anordnung von 3 Büchern auf einem Regal: \(3! = 6\) Möglichkeiten.
Formel: \[P(n) = n!\]
In R: factorial(n)
2.4 Kombinationen (Auswahl)
Hier untersuchen wir, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(k\) Objekte aus einer Menge von \(n\) Objekten auszuwählen. Dabei ist die Reihenfolge egal (ziehen von einstelligen Nummern: 012 ist das gleiche wie 021 oder 210).
Ohne Zurücklegen.
Typisches Beispiel: Lotto oder die Auswahl von 2 Pizzabelägen aus 6 möglichen, Pilze+Salami ist das gleiche wie Salami+Pilze.
Formel (Binomialkoeffizient): \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
In R: choose(n, k)
Mit Zurücklegen.
Beispiel: Auswahl von Objekten, die nach der Ziehung wieder zurückgelegt werden, wobei nur die Anzahl pro Kategorie zählt. Beispiel: Auswahl von 3 Kugeln aus einer Urne mit 5 verschiedenen Farben, wobei jede Farbe mehrfach gezogen werden kann (z.B. 2 rote und 1 blaue Kugel).
Formel: \[\binom{n+k-1}{k}\]
In R: choose(n + k - 1, k)
3 Formel-Überblick
Die folgende Tabelle dient als Entscheidungshilfe, welche Formel für welches Problem anzuwenden ist:
| Typ | Reihenfolge wichtig? | Mit Zurücklegen? | Formel |
|---|---|---|---|
| Permutation | Ja | Nein | \(n!\) |
| Variation | Ja | Nein | \(\frac{n!}{(n-k)!}\) |
| Variation | Ja | Ja | \(n^k\) |
| Kombination | Nein | Nein | \(\binom{n}{k}\) |
| Kombination | Nein | Ja | \(\binom{n+k-1}{k}\) |
wobei \(n\) für die Anzahl der Objekte steht (z.B Anzahl Ziffern 0-9) und \(k\) die Anzahl der Auswahlen darstellt (z.B Stellen auf dem Zahlenschloss).
Fragen Sie sich immer zuerst: Kommt es auf die Reihenfolge an? Wenn nein, landen Sie fast immer beim Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\).