Woche 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten

1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten & Satz von Bayes

Oft bekommen wir neue Informationen, die unsere Einschätzung verändern. Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}[A|B]\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit von \(A\), unter der Voraussetzung, dass \(B\) bereits eingetreten ist.

Formel: \[\mathbb{P}[A|B] = \frac{\mathbb{P}[A \cap B]}{\mathbb{P}[B]}\]

1.1 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Um \(\mathbb{P}[A]\) zu berechnen, können wir das Problem in disjunkte Fälle (z.B. Fall \(B\) und Fall \(B^c\)) aufteilen und gewichten: \[\mathbb{P}[A] = \mathbb{P}[A|B] \cdot \mathbb{P}[B] + \mathbb{P}[A|B^c] \cdot \mathbb{P}[B^c]\]

Wir kennen die Fälle \(B\) und \(B^c\), deren Wahrscheinlichkeiten ( \(\mathbb{P}[B^c], \mathbb{P}[B]\) ) und die bedingten Wahrscheinlichkeiten ( \(\mathbb{P}[A|B^c], \mathbb{P}[A|B]\) ). Die Formel liefert daraus dann \(\mathbb{P}[A]\).

1.1.1 Beispiel 1:

Ereignis \(A\): Wir ziehen als zweite Kugel eine rote Kugel. Ereignis \(B\): Wir ziehen als erste Kugel eine rote Kugel. Dann können wir die Wahrscheinlichkeit für \(A\) berechnen, indem wir die Fälle \(B\) und \(B^c\) betrachten.

1.1.2 Beispiel 2:

In einer Firma arbeiten 60% Ingenieur:innen und 40% Betriebswirtschaftler:innen. Von den Ingenieur: innen sprechen 30% Französisch, von den Betriebswirtschaftler:innen sind es 50%.

  • Disjunkte Fälle (niemand ist beides, also disjunkt, schliessen sich gegenseitig aus):
    • \(I\) = Ingenieur:in,
    • \(B\) = Betriebswirtschaftler:in
  • Wahrscheinlichkeiten:
    • \(\mathbb{P}[I] = 0.6\)
    • \(\mathbb{P}[B] = 0.4\)

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit erlaubt es uns, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person Französisch spricht, indem wir die Fälle \(I\) und \(B\) separat betrachten: \[\mathbb{P}[\text{F}] = \mathbb{P}[\text{F}|B] \cdot \mathbb{P}[B] + \mathbb{P}[\text{F}|I] \cdot \mathbb{P}[I] = 0.3 \cdot 0.6 + 0.5 \cdot 0.4 = 0.38\]

Visuelle Erläuterung

1.2 Satz von Bayes

Dieser Satz erlaubt es uns, bedingte Wahrscheinlichkeiten “umzudrehen”, also von \(\mathbb{P}[A|B]\) auf \(\mathbb{P}[B|A]\) zu schliessen: \[\mathbb{P}[A|B] = \frac{\mathbb{P}[B|A] \cdot \mathbb{P}[A]}{\mathbb{P}[B]}\]

Klassisches Beispiel (Medizinischer Test): Auch wenn ein HIV-Test sehr genau ist, ist die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich infiziert zu sein, wenn der Test positiv ausfällt, oft überraschend tief, falls die Krankheit in der Gesamtbevölkerung sehr selten ist.

2 Unabhängigkeit von Ereignissen

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat.

Bedingung für Unabhängigkeit: Die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von \(A\) und \(B\) ist gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten: \[\mathbb{P}[A \cap B] = \mathbb{P}[A] \cdot \mathbb{P}[B]\]

Wenn Ereignisse unabhängig sind, gilt logischerweise auch: \(\mathbb{P}[A|B] = \mathbb{P}[A]\).