Woche 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung
1 Zufallsexperimente und Ereignisse
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Zufallsexperimenten – das sind Vorgänge, deren Ausgang nicht exakt vorhersagbar ist. Um damit zu rechnen, brauchen wir einige Grundbegriffe:
- Elementarereignis (\(\omega\)): Ein einzelner, konkreter Ausgang eines Experiments.
- Grundmenge / Grundraum (\(\Omega\)): Die Menge aller möglichen Ausgänge eines Experiments.
- Ereignis (\(A\)): Eine Sammlung von bestimmten Elementarereignissen. Formal ist ein Ereignis eine Teilmenge der Grundmenge (\(A \subseteq \Omega\)).
Beispiel Würfelwurf:
- Grundmenge: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
- Ereignis \(A\) (“eine gerade Zahl würfeln”): \(A = \{2, 4, 6\}\)
2 Mengenoperationen
Da Ereignisse Mengen sind, können wir sie mit Mengenoperationen verknüpfen:
| Operation | Notation | Bedeutung |
|---|---|---|
| Schnittmenge | \(A \cap B\) | \(A\) und \(B\) treten beide gleichzeitig ein. |
| Vereinigung | \(A \cup B\) | \(A\) oder \(B\) (oder beide) treten ein. |
| Gegenereignis | \(A^c\) | \(A\) tritt nicht ein (\(A^c = \Omega \setminus A\)). |
Disjunkte Ereignisse:
Zwei Ereignisse heissen disjunkt, wenn sie sich gegenseitig ausschliessen und niemals gemeinsam eintreten können (\(A \cap B = \emptyset\)).
Tipp für Umformungen (De Morgan’sche Regeln):
- \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)
- \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)
3 Wahrscheinlichkeiten und Kolmogorow-Axiome
Die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}[A]\) gibt auf einer Skala von 0 bis 1 an, wie sicher ein Ereignis \(A\) eintritt. Nach den Kolmogorow-Axiomen gilt:
- Sicheres Ereignis: \(\mathbb{P}[\Omega] = 1\)
- Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von disjunkten Ereignissen ist die Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.
Daraus ergeben sich wichtige Rechenregeln:
- Gegenereignis: \(\mathbb{P}[A^c] = 1 - \mathbb{P}[A]\)
- Differenzregel: \(P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)\)
- Summenregel: \(\mathbb{P}[A \cup B] = \mathbb{P}[A] + \mathbb{P}[B] - \mathbb{P}[A \cap B]\)
3.1 Laplace-Experimente
Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn jeder mögliche Ausgang (\(\omega\)) absolut gleich wahrscheinlich ist.
Formel: \[\mathbb{P}[A] = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{Anzahl günstige Ausgänge}}{\text{Anzahl mögliche Ausgänge}}\]
Beispiel: Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl beim fairen Würfelwurf: \(\mathbb{P}[A] = 3 / 6 = 0.5\).